Asíntotas Verticales

Se puede aplicar límites infinitos para determinar las asíntotas verticales de una gráfica, si es que posee alguna. En el gráfico siguiente muestra la gráfica de la función definida por:

captura-de-pantalla-de-2016-11-19-123417Cualquier recta paralela al eje x y por encima de éste intersectará esta gráfica en dos punto, un punto a la izquierda de la recta x=a, y el otro en el lado derecho de dicha recta. Así, para cualquier k>0, no importa qué tan grande sea, la recta y=k intersectará a la gráfica de f en dos puntos; la distancia de estos dos puntos a la recta x = a es cada vez más pequeña conforme k crece. Por esto, se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de f.

Definición de asíntota vertical

La recta x =a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

(i) \hspace{.7cm} \lim_{x \to a^+}f(x)= +\infty

(ii) \hspace{.7cm} \lim_{x \to a^+}f(x)= -\infty

(ii) \hspace{.7cm} \lim_{x \to a^-}f(x)= +\infty

(ii) \hspace{.7cm} \lim_{x \to a^-}f(x)= -\infty

Ejemplo:

Determine la asíntota vertical de la gráfica de la función f definida po:

f(x)= \frac{3}{x-3}

Se estudiarán los límites

\lim_{x \to 3^+ }f(x) y \lim_{x \to 3^-}f(x)

porque en los casos, el límite del denominador es cero.

\lim_{x \to 3^+}\frac{3}{x-3}= +\infty    \lim_{x \to 3^-}\frac{3}{x-3}= -\infty
De la definición anterior se concluye que la recta x=3 observada en la siguiente animación:

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