Continuidad de una función en un Número

En un entrada anterior se trató la función definida por:

donde C(x) dólares es el costo de x libras de un producto. Se observa que el     \lim_{x \to 10} C(x) no existe debido a que \lim_{x \to 10^+} C(x)\neq \lim_{x \to 10^-} C(x) . La gráfica de C, dibujada en la figura 1, se rompe en el punto donde x=10 porque C es discontinua en el número 10. Esta discontinuidad es causada por el hecho que  \lim_{x \to 10} C(x) no existe.

Figura 1

Ahora considere la función f definida por

f(x)= \frac{(2x+3)(x-1)}{x-1}

La gráfica de f consiste de todos los puntos de la recta y= 2x-1 excepto (1,5), y se muestra en la figura 2. La gráfica se rompe en el punto(1,5) debido a que la función es discontinua en el número 1. Esta discontinuidad ocurre porque f(1) no existe.

Figura 2

Suponga que la función F tiene los mismos valores que la función f definida anteriormente donde x≠1, y suponga que, por ejemplo, F(1)=2. Entonces F está definida para todos los valores de x, pero existe una rotura en la grafica.(Figura 3), y la función es discontinua en 1. Sin embargo, si se define F(1)=5, la gráfica no se rompe. Y se dice que la función F es continua en todos los valores de x.

Figura 3

Definición de función continua en un número

Se dice que la función f es continua en el número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

(i) f(a) existe;

(ii) \lim_{x \to a} f(x) existe

(iii) \lim_{x \to a} f(x)= f(a)

Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en a, entonces se dice que la función f es discontinua en a.

Ejemplo 1:

Sea f la función definida por

\large f(x)= \left\{\begin{matrix} 2x+3 & si &x\neq 1\\ 2 & si &x= 1 \end{matrix}\right.

Inspeccionemos las condiciones:

\large \begin{matrix} (i) & f(1)= 2\\ (ii) & \lim_{x \to 1}f(x)= 5 \\ (iii) & \lim_{x \to 1}f(x)\neq f(1) \end{matrix}

Las condiciones (i) y (ii) se satisfacen pero la condición (iii) no se cumple. Por lo tanto, la función f es discontinua en 1.

Observe que si en el ejemplo 1 se definierá f(1)=5, entonces \lim_{x \to 1} f(x) y f(1) serían iguales y f sería continua en 1. Por esta razón, la discontinuidad del ejemplo 1 se denomina discontinuidad removible
En general, suponga que f es una función discontinua en el número a para la cual existe \lim_{x \to a} f(x). Entonces f(a) no existe, o bien,\lim_{x \to a} f(a)\neq f(a).

Dicha discontinuidad es una discontinuidad removible(o eliminable) porque si f se redefine en a de modo que f(a) es igual a \lim_{x \to a} f(x), la nueva función es continua en a. Si la discontinuidad no es removible, entonces se le llama discontinuidad esencial

Ejemplo 2:

Sea f la funcióndefinida por

\large f(x)= \frac{1}{x-2}
Figura 5

La gráfica de f, mostrada en la figura 5, se rompe en el punto donde x=2; por lo que se investigarán las condiciones de la definición de continuidad:

f(2) no está definida

Como no se satisface la condición (i), f es discontinua en 2.
La discontinuidad es esencial porque \lim_{x \to 2} f(x) no existe

Este tipo de discontinuidad recibe el nombre de discontinuidad infinita

 

 

 

 

 

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Teoremas de Límites infinitos

Conocimiento Previo:

Límite de Función

Teorema de inversa de una función pontencia de exponente entero positivo

Si r es cualquier número entero positivo, entonces

Demostración:

Se probará el inciso (i). La demostración del inciso (ii) es análoga . Se debe probar que para cualquier N>0   existe \delta>0, tal que

\large si \ 0<x<\delta \ entonces \ \frac{1}{x^r}>N \\ \text{o, equivalentemente como} x>0 \ y \ N>0,\\ si \ 0<x<\delta \ entonces \ x^r<\frac{1}{N} \\ \text{o, de modo equivalentemente como} r>0, \\ si \ 0<x<\delta \ entonces \ x< \left ( \frac{1}{N} \right )^{\frac{1}{r}} \\ \text{el enunciado anterior se cumple si } \delta= \left ( \frac{1}{N} \right )^{\frac{1}{r}}. \\ \text{Por tanto, cuando} \ \delta= \left ( \frac{1}{N} \right )^{\frac{1}{r}}\\ si \ 0<x<\delta \ entonces \ \frac{1}{x^r}>N

Ejemplo 1: A partir del teorema anterior calcule los límites de f(x)=\frac{1}{x^3} y g(x)=\frac{1}{x^4}

A partir del teorema anterior inciso (i):

\large \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3}= \infty \ y \ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4}= \infty

y del inciso (ii):

\large \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^3}= -\infty \ y \ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^4}= \infty

Teorema 2 de Límites Infinitos

Si a es culquier número real y si \lim_{x \to a}f(x)=0 y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante diferente de 0, entonces

(i) si c>0 y f(x) \to 0 a través de valores positivos de f(x), entonces
\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)}= +\infty
(ii) si c>0 y f(x) \to 0 a través de valores negativo de f(x), entonces
\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)}= -\infty
(iii) si c<0 y f(x) \to 0 a través de valores positivos de f(x), entonces
\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)}= -\infty
(iv) si c<0 y f(x) \to 0 a través de valores negativos de f(x), entonces
\lim_{x \to }\frac{g(x)}{f(x)}= +\infty
El teorema también es válido si se sustituye “x \to a” por “x \to a^+” o “x \to a^-

Ejemplo 2: Sea

F(x) =\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3}

Determine:
(a) \lim_{x \to 3+}F(x)2
(b) \lim_{x \to 3-}F(x)
(c) Apoye las respuestas de los incisos (a) y (b) trazando la gráfica de F

(a) \lim_{x \to 3+}\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3} = \lim_{x \to 3+}\frac{x^2+x+2}{(x-3)(x+1)}
El límite del numerador es 14, lo que puede verificarse fácilmente

\lim_{x \to 3+}\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3} = +\infty

(b) \lim_{x \to 3-}\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3} = \lim_{x \to 3-}\frac{x^2+x+2}{(x-3)(x+1)}
Como en el inciso (a), el límite del numerador es 14

En este caso, el límite del denominador es cero, pero el denominador se aproxima a cero por medio de valores negativos. Del teorema 2(ii),
\lim_{x \to 3}\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3} = -\infty

(c) con la gráfica de F se verifica los resultados obtenidos

Teorema 3 de Límites Infinitos

(i) Si \lim_{x \to a}f(x)=+\infty y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante, entonces \lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=+\infty

(ii) Si \lim_{x \to a}f(x)=-\infty y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante, entonces \lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=-\infty

El teorema también es válido si se sustituye “x \to a” por “x \to a^+” o “x \to a^-

Teorema 4 de Límites Infinitos

Si \lim_{x \to a}f(x)=+\infty y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante diferente de 0, entonces

(i) si c>0  \lim_{x \to a}f(x) \cdot g(x)=+\infty

(ii) si c<0 , \lim_{x \to a}f(x) \cdot g(x)=-\infty

El teorema también es válido si se sustituye “x \to a” por “x \to a^+” o “x \to a^-

Teorema 5 de Límites Infinitos

Si \lim_{x \to a}f(x)=-\infty y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante diferente de 0, entonces

(i) si c>0 , \lim_{x \to a}f(x) \cdot g(x)=-\infty

(ii) si c<0 , \lim_{x \to a}f(x) \cdot g(x)=+\infty

El teorema también es válido si se sustituye “x \to a” por “x \to a^+” o “x \to a^-

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Límites Infinitos

En esta sección, se estudian las funciones cuyos valores crece o decrecen sin límites conforme la variable independiente se acerca cada vez más a un número fijo. Para iniciar, considere la función definida por:

f(x)=\frac{3}{x^2}
Figura 1

El dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto 0, mientras que su contradominio es el conjunto de todos los números reales positivos. La figura 1 muestra la gráfica. Observa que conforme las coordenadas x de los puntos de la gráfica se aproximan a 0, por la derecha o por la izquierda, las coordenadas y, o f(x), crecen. A continuación se calcularán algunos valores de la función x tiende a 0. Aproxime x a 0 por la derecha, es decir, considere los siguientes valores de x: 1; 0,5;0,25,0,01;0,01,0,0001, y determine los valores correspondiente de f(x), los cuales se muestran a continuación con el uso de geogebra.

Observe en la tabla anterior que f(x) crece conformex se aproxima cada vez más a 0, a través de valores mayores que 0. En realidad, se puede hacer f(x) tan grande como se desee para todos los valores de x suficientemente cercanos a 0 y mayores que 0. Debido a este hecho, se dice que f(x) crece sin límite conforme x tiende a 0 mediante valores mayores que 0, lo cual se escribe como

\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{x^2}= +\infty

Ahora aproxime x a 0 por la izquierda; en particular, considere para los valores -1;-0,5;-0,25;-0,1 y -0,001. Debido a la simetría con respecto al eje y, los valores de la función son los mismos que los correspondientes a los valores positivos de x. Así, otra vez, f(x) crece sin límite conforme x tiende a 0 a través de valores menores que 0, lo cual se expresa como

\lim_{x \to 0^-} \frac{3}{x^2}= +\infty

Por tanto, conforme x se aproxima a 0 por la derecha o por la izquierda, f(x) crece sin límite, lo que se expresa en símbolos como

\lim_{x \to 0} \frac{3}{x^2}= +\infty

Volviendo a la figura 1, se observa que las dos “ramas” de la curva se acercan cada vez más al eje y conforme x se aproxima a 0. Para esta gráfica, el eje y es una asíntota vertical.

Definición de valores de función que crecen sin límite

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto posiblemente en a mismo, Conforme x se aproxima a a, f(x) crece sin límite, lo cual se escribe como

 \lim_{x \to a} \frac{3}{x^2}= +\infty

si para cualquier npumero N>0 existe \delta>0 tal que

si 0<\left | x-a \right |<\delta entonces f(x)>N

Esta definición también puede establecerse en otra forma como sigue:

“Los valores de función f(x) crecen sin límites conforme x tiende a un número a si f(x) puede hacerse tan grande como se desee (esto es, mayor que cualquier npumero positivo N) para todos los valores de x suficientemente cercanos a a, pero sin considerar a a, mismo”

Definición de valores de función que decrecen sin límite

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto posiblemente en a mismo, Conforme x se aproxima a a, f(x) decrece sin límite, lo cual se escribe como

 \lim_{x \to a} \frac{3}{x^2}= -\infty

si para cualquier npumero N<0 existe \delta>0 tal que

si 0<\left | x-a \right |<\delta entonces f(x)<N

Calculando Límites de funciones con SageMath

Conocimientos Previos:

Vamos a calcular los límites vistos en la sección anterior:

\large \lim_{x \to 3}(x^2++x-5)

Calculando Límites con SageMath:

Paso 1: Ingresar https://cloud.sagemath.com/

Paso 2: Iniciar sesión o registrar una cuenta conectandola con una cuenta de twitter o facebook

Paso 3: Crear un nuevo proyecto o trabajar sobre uno ya creado. Puedes colocarle el nombre que prefieras.

Paso 4: Crear una Nueva hoja de Trabajo con el nombre de “Limites”

Paso 5: Ingresar script

Para este caso vamos a calcular el límite con la función limit(nombrefuncion, a). Cuyos argumentos son el nombre de la función(y) y el valor a que tiende ese límite(a).

Para definir la función simplemente se realiza una asignación:

y=x^2+7*x-5
limit(y,x=3)

Paso 6: Cliquer al botón “Run” para calcular el valor del límite de la función:

De igual forma podemos calcular el límite de la función \lim_{x \to 2}\sqrt{\frac{x^3+2x+3}{x^2+5}}

 

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Ejercicios Resueltos | Teoremas de Límites

ejerciciosteoremaslimites

Requerimientos Previos:

En los ejercicios siguientes se aplicarán los teoremas vistos en la anterior entrada para calcular límites. A fin de indicar qué teorema se ha aplicado se escribirá la Abreviatura “TnL”.

Ejercicio 1: Calcule \large \lim_{x \to 3}(x^2+7x-5)
Solución:

Ejercicio 2: Calcule \lim_{x \to 2}\sqrt{\frac{x^3+2x+3}{x^2+5}}

Solución:

Ejercicios Propuestos:

Calcule:

  1. \lim_{y \to -1}(y^3-2y^2+3y-4)
  2. \lim_{x \to 3} \frac{4x-5}{5x-1}
  3. \lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{x^2+3x+4}{x^3+1}}

Ejercicios de la Definición de Limites

Conocimientos Previos:

Definición de Límites de una Función

Ejemplo 1: Utilice la definición de límite para demostrar que:

\lim_{x\rightarrow 2}(4x-5)=3

Solución: El primer requisito de la definición de límites es que 4x-5 esté definida en cada número de un intervalo abierto que contenga a 2, excepto posiblemente en 2. Puesto que 4x-5 está definida para todos los números reales, cualquier intervalo abierto que contenga a 2 satisface este requisito. Ahora se debe demostrar que para cualquier \epsilon > 0 tal que

si \ 0<\left | x-2 \right |< \delta \ \ entonces \ \ \left | 4x-5-3 \right |<\epsilon \ \ \ \ (1)

\Leftrightarrow si\ 0<\left | x-2 \right |< \delta \ \ entonces \ \ 4\left | x-2 \right |<\epsilon

\Leftrightarrow si\ 0<\left | x-2 \right |< \delta \ \ entonces \ \ \left | x-2 \right |<\frac{1}{4}\epsilon

Esta proposición denota que \frac{1}{4}\epsilon es una \delta satisfactoria. Con esta elección de \delta se tiene el argumento siguiente:

\ \ \ \ \ \ \ \ 0<\left | x-2 \right |< \delta

\Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ 4 \left |x-2 \right |< 4 \delta

\Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \left |4 x-8 \right |< 4 \delta

\Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \left |(4x-5)-3 \right |< \epsilon \ \ (porque \ \delta= \frac{1}{4}\epsilon)

Por tanto, se ha establecido que si \delta=\frac{1}{4}\epsilon , entonces se cumple la proposición (1). Esto demuestra que \lim_{x\rightarrow 2}(4x-5)=3

Ejercicios Propuesto:

\lim_{x\rightarrow 4}(2x+1)=9

\lim_{x\rightarrow 3}(7x-3)=-2

\lim_{x\rightarrow 3}(4x+3)=7

\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}-1}{x+1}=-2

 

Definición de Límites de Funciones

Introducción:

Pocas personas comprenden completamente el concepto de límite de manera rápida o fácil. De hecho, el significado preciso de la proposición “F(x) tiende a L cuando x tiende a afue debatido vigorosomante por cientos de años, hasta finales del siglo XIX. Fue entonces que el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1987) formuló finalmente la definición rigurosa del límite aceptada en la actualidad.

Definición de Límites de Funciones:

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo que se escribe como

\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L

si la siguiente proposición es verdadera:

dada cualquier \varepsilon >0 , no importa cuan pequeña sea, existe una \delta tal que

0<\left | x-a \right |< \delta \ \ entonces \ \ 0<\left | f(x)-L \right |<\epsilon

En palabras, esta definición establece que los valores de función f(x) se aproxima al límite L conforme x lo hace al número a si el valor absoluto de la diferencia entre f(x) puede hacerse tan pequeña como se desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.

Representación geométrica de Límite de funciónes:

Los puntos de la gráfica de y = F(x) que satisfacen Ia desigualdad |F (x) – L |< ε son aquellos puntos que se encuentran entre las dos rectas horizontales y = L – ε e y = L + ε. Los puntos en esta gráfica que satisfacen la desigualdad | x – a |<δ  son aquellos puntos que se encuentran entre las dos rectas verticales x = a – δ y x = a + δ.

L1 es la recta vertical x = a – δ y L2 x = a + δ los punto en azul son los puntos que satisface a | x – a| <δ

En consecuencia, la definición implica que \lim_{x \rightarrow a }F(a)=L si y solo si es verdadero lo siguiente:

Suponga que están dadas las dos rectas horizontales y = L -ε y= L +ε (con ε> 0). Entonces es posible elegir dos rectas verticales x = a – δ y x = a + δ  (con δ > 0) con la siguiente propiedad: Cada punto de Ia grafica de y=F(x) (con x ≠a) que se encuentre entre las dos rectas verticales también debe estar entre las dos rectas horizontales.

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