Calculando Límites de funciones con SageMath

Conocimientos Previos:

Vamos a calcular los límites vistos en la sección anterior:

\large \lim_{x \to 3}(x^2++x-5)

Calculando Límites con SageMath:

Paso 1: Ingresar https://cloud.sagemath.com/

Paso 2: Iniciar sesión o registrar una cuenta conectandola con una cuenta de twitter o facebook

Paso 3: Crear un nuevo proyecto o trabajar sobre uno ya creado. Puedes colocarle el nombre que prefieras.

Paso 4: Crear una Nueva hoja de Trabajo con el nombre de “Limites”

Paso 5: Ingresar script

Para este caso vamos a calcular el límite con la función limit(nombrefuncion, a). Cuyos argumentos son el nombre de la función(y) y el valor a que tiende ese límite(a).

Para definir la función simplemente se realiza una asignación:

y=x^2+7*x-5
limit(y,x=3)

Paso 6: Cliquer al botón “Run” para calcular el valor del límite de la función:

De igual forma podemos calcular el límite de la función \lim_{x \to 2}\sqrt{\frac{x^3+2x+3}{x^2+5}}

 

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Ejercicios Resueltos | Teoremas de Límites

ejerciciosteoremaslimites

Requerimientos Previos:

En los ejercicios siguientes se aplicarán los teoremas vistos en la anterior entrada para calcular límites. A fin de indicar qué teorema se ha aplicado se escribirá la Abreviatura “TnL”.

Ejercicio 1: Calcule \large \lim_{x \to 3}(x^2+7x-5)
Solución:

Ejercicio 2: Calcule \lim_{x \to 2}\sqrt{\frac{x^3+2x+3}{x^2+5}}

Solución:

Ejercicios Propuestos:

Calcule:

  1. \lim_{y \to -1}(y^3-2y^2+3y-4)
  2. \lim_{x \to 3} \frac{4x-5}{5x-1}
  3. \lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{x^2+3x+4}{x^3+1}}

Ejercicios de la Definición de Limites

Conocimientos Previos:

Definición de Límites de una Función

Ejemplo 1: Utilice la definición de límite para demostrar que:

\lim_{x\rightarrow 2}(4x-5)=3

Solución: El primer requisito de la definición de límites es que 4x-5 esté definida en cada número de un intervalo abierto que contenga a 2, excepto posiblemente en 2. Puesto que 4x-5 está definida para todos los números reales, cualquier intervalo abierto que contenga a 2 satisface este requisito. Ahora se debe demostrar que para cualquier \epsilon > 0 tal que

si \ 0<\left | x-2 \right |< \delta \ \ entonces \ \ \left | 4x-5-3 \right |<\epsilon \ \ \ \ (1)

\Leftrightarrow si\ 0<\left | x-2 \right |< \delta \ \ entonces \ \ 4\left | x-2 \right |<\epsilon

\Leftrightarrow si\ 0<\left | x-2 \right |< \delta \ \ entonces \ \ \left | x-2 \right |<\frac{1}{4}\epsilon

Esta proposición denota que \frac{1}{4}\epsilon es una \delta satisfactoria. Con esta elección de \delta se tiene el argumento siguiente:

\ \ \ \ \ \ \ \ 0<\left | x-2 \right |< \delta

\Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ 4 \left |x-2 \right |< 4 \delta

\Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \left |4 x-8 \right |< 4 \delta

\Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \left |(4x-5)-3 \right |< \epsilon \ \ (porque \ \delta= \frac{1}{4}\epsilon)

Por tanto, se ha establecido que si \delta=\frac{1}{4}\epsilon , entonces se cumple la proposición (1). Esto demuestra que \lim_{x\rightarrow 2}(4x-5)=3

Ejercicios Propuesto:

\lim_{x\rightarrow 4}(2x+1)=9

\lim_{x\rightarrow 3}(7x-3)=-2

\lim_{x\rightarrow 3}(4x+3)=7

\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}-1}{x+1}=-2

 

Definición de Límites de Funciones

Introducción:

Pocas personas comprenden completamente el concepto de límite de manera rápida o fácil. De hecho, el significado preciso de la proposición “F(x) tiende a L cuando x tiende a afue debatido vigorosomante por cientos de años, hasta finales del siglo XIX. Fue entonces que el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1987) formuló finalmente la definición rigurosa del límite aceptada en la actualidad.

Definición de Límites de Funciones:

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo que se escribe como

\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L

si la siguiente proposición es verdadera:

dada cualquier \varepsilon >0 , no importa cuan pequeña sea, existe una \delta tal que

0<\left | x-a \right |< \delta \ \ entonces \ \ 0<\left | f(x)-L \right |<\epsilon

En palabras, esta definición establece que los valores de función f(x) se aproxima al límite L conforme x lo hace al número a si el valor absoluto de la diferencia entre f(x) puede hacerse tan pequeña como se desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.

Representación geométrica de Límite de funciónes:

Los puntos de la gráfica de y = F(x) que satisfacen Ia desigualdad |F (x) – L |< ε son aquellos puntos que se encuentran entre las dos rectas horizontales y = L – ε e y = L + ε. Los puntos en esta gráfica que satisfacen la desigualdad | x – a |<δ  son aquellos puntos que se encuentran entre las dos rectas verticales x = a – δ y x = a + δ.

L1 es la recta vertical x = a – δ y L2 x = a + δ los punto en azul son los puntos que satisface a | x – a| <δ

En consecuencia, la definición implica que \lim_{x \rightarrow a }F(a)=L si y solo si es verdadero lo siguiente:

Suponga que están dadas las dos rectas horizontales y = L -ε y= L +ε (con ε> 0). Entonces es posible elegir dos rectas verticales x = a – δ y x = a + δ  (con δ > 0) con la siguiente propiedad: Cada punto de Ia grafica de y=F(x) (con x ≠a) que se encuentre entre las dos rectas verticales también debe estar entre las dos rectas horizontales.

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