Continuidad de una función en un Número

En un entrada anterior se trató la función definida por:

donde C(x) dólares es el costo de x libras de un producto. Se observa que el     \lim_{x \to 10} C(x) no existe debido a que \lim_{x \to 10^+} C(x)\neq \lim_{x \to 10^-} C(x) . La gráfica de C, dibujada en la figura 1, se rompe en el punto donde x=10 porque C es discontinua en el número 10. Esta discontinuidad es causada por el hecho que  \lim_{x \to 10} C(x) no existe.

Figura 1

Ahora considere la función f definida por

f(x)= \frac{(2x+3)(x-1)}{x-1}

La gráfica de f consiste de todos los puntos de la recta y= 2x-1 excepto (1,5), y se muestra en la figura 2. La gráfica se rompe en el punto(1,5) debido a que la función es discontinua en el número 1. Esta discontinuidad ocurre porque f(1) no existe.

Figura 2

Suponga que la función F tiene los mismos valores que la función f definida anteriormente donde x≠1, y suponga que, por ejemplo, F(1)=2. Entonces F está definida para todos los valores de x, pero existe una rotura en la grafica.(Figura 3), y la función es discontinua en 1. Sin embargo, si se define F(1)=5, la gráfica no se rompe. Y se dice que la función F es continua en todos los valores de x.

Figura 3

Definición de función continua en un número

Se dice que la función f es continua en el número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

(i) f(a) existe;

(ii) \lim_{x \to a} f(x) existe

(iii) \lim_{x \to a} f(x)= f(a)

Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en a, entonces se dice que la función f es discontinua en a.

Ejemplo 1:

Sea f la función definida por

\large f(x)= \left\{\begin{matrix} 2x+3 & si &x\neq 1\\ 2 & si &x= 1 \end{matrix}\right.

Inspeccionemos las condiciones:

\large \begin{matrix} (i) & f(1)= 2\\ (ii) & \lim_{x \to 1}f(x)= 5 \\ (iii) & \lim_{x \to 1}f(x)\neq f(1) \end{matrix}

Las condiciones (i) y (ii) se satisfacen pero la condición (iii) no se cumple. Por lo tanto, la función f es discontinua en 1.

Observe que si en el ejemplo 1 se definierá f(1)=5, entonces \lim_{x \to 1} f(x) y f(1) serían iguales y f sería continua en 1. Por esta razón, la discontinuidad del ejemplo 1 se denomina discontinuidad removible
En general, suponga que f es una función discontinua en el número a para la cual existe \lim_{x \to a} f(x). Entonces f(a) no existe, o bien,\lim_{x \to a} f(a)\neq f(a).

Dicha discontinuidad es una discontinuidad removible(o eliminable) porque si f se redefine en a de modo que f(a) es igual a \lim_{x \to a} f(x), la nueva función es continua en a. Si la discontinuidad no es removible, entonces se le llama discontinuidad esencial

Ejemplo 2:

Sea f la funcióndefinida por

\large f(x)= \frac{1}{x-2}
Figura 5

La gráfica de f, mostrada en la figura 5, se rompe en el punto donde x=2; por lo que se investigarán las condiciones de la definición de continuidad:

f(2) no está definida

Como no se satisface la condición (i), f es discontinua en 2.
La discontinuidad es esencial porque \lim_{x \to 2} f(x) no existe

Este tipo de discontinuidad recibe el nombre de discontinuidad infinita

 

 

 

 

 

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Apuntes | Límites de Funciones

Este curso es un conjunto de apuntes tomados de los principales libros de cálculo. El principal objetivo de este curso es ir mostrando los conceptos básico de límites de funciones, ejemplificaciones y uso de herramientas tecnólogicas para facilitar la compresión de los contenidos.

Contenido:

Continuará………

 

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Asíntotas Verticales

Se puede aplicar límites infinitos para determinar las asíntotas verticales de una gráfica, si es que posee alguna. En el gráfico siguiente muestra la gráfica de la función definida por:

captura-de-pantalla-de-2016-11-19-123417Cualquier recta paralela al eje x y por encima de éste intersectará esta gráfica en dos punto, un punto a la izquierda de la recta x=a, y el otro en el lado derecho de dicha recta. Así, para cualquier k>0, no importa qué tan grande sea, la recta y=k intersectará a la gráfica de f en dos puntos; la distancia de estos dos puntos a la recta x = a es cada vez más pequeña conforme k crece. Por esto, se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de f.

Definición de asíntota vertical

La recta x =a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

(i) \hspace{.7cm} \lim_{x \to a^+}f(x)= +\infty

(ii) \hspace{.7cm} \lim_{x \to a^+}f(x)= -\infty

(ii) \hspace{.7cm} \lim_{x \to a^-}f(x)= +\infty

(ii) \hspace{.7cm} \lim_{x \to a^-}f(x)= -\infty

Ejemplo:

Determine la asíntota vertical de la gráfica de la función f definida po:

f(x)= \frac{3}{x-3}

Se estudiarán los límites

\lim_{x \to 3^+ }f(x) y \lim_{x \to 3^-}f(x)

porque en los casos, el límite del denominador es cero.

\lim_{x \to 3^+}\frac{3}{x-3}= +\infty    \lim_{x \to 3^-}\frac{3}{x-3}= -\infty
De la definición anterior se concluye que la recta x=3 observada en la siguiente animación:

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Teoremas de Límites infinitos

Conocimiento Previo:

Límite de Función

Teorema de inversa de una función pontencia de exponente entero positivo

Si r es cualquier número entero positivo, entonces

Demostración:

Se probará el inciso (i). La demostración del inciso (ii) es análoga . Se debe probar que para cualquier N>0   existe \delta>0, tal que

\large si \ 0<x<\delta \ entonces \ \frac{1}{x^r}>N \\ \text{o, equivalentemente como} x>0 \ y \ N>0,\\ si \ 0<x<\delta \ entonces \ x^r<\frac{1}{N} \\ \text{o, de modo equivalentemente como} r>0, \\ si \ 0<x<\delta \ entonces \ x< \left ( \frac{1}{N} \right )^{\frac{1}{r}} \\ \text{el enunciado anterior se cumple si } \delta= \left ( \frac{1}{N} \right )^{\frac{1}{r}}. \\ \text{Por tanto, cuando} \ \delta= \left ( \frac{1}{N} \right )^{\frac{1}{r}}\\ si \ 0<x<\delta \ entonces \ \frac{1}{x^r}>N

Ejemplo 1: A partir del teorema anterior calcule los límites de f(x)=\frac{1}{x^3} y g(x)=\frac{1}{x^4}

A partir del teorema anterior inciso (i):

\large \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3}= \infty \ y \ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4}= \infty

y del inciso (ii):

\large \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^3}= -\infty \ y \ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^4}= \infty

Teorema 2 de Límites Infinitos

Si a es culquier número real y si \lim_{x \to a}f(x)=0 y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante diferente de 0, entonces

(i) si c>0 y f(x) \to 0 a través de valores positivos de f(x), entonces
\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)}= +\infty
(ii) si c>0 y f(x) \to 0 a través de valores negativo de f(x), entonces
\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)}= -\infty
(iii) si c<0 y f(x) \to 0 a través de valores positivos de f(x), entonces
\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)}= -\infty
(iv) si c<0 y f(x) \to 0 a través de valores negativos de f(x), entonces
\lim_{x \to }\frac{g(x)}{f(x)}= +\infty
El teorema también es válido si se sustituye “x \to a” por “x \to a^+” o “x \to a^-

Ejemplo 2: Sea

F(x) =\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3}

Determine:
(a) \lim_{x \to 3+}F(x)2
(b) \lim_{x \to 3-}F(x)
(c) Apoye las respuestas de los incisos (a) y (b) trazando la gráfica de F

(a) \lim_{x \to 3+}\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3} = \lim_{x \to 3+}\frac{x^2+x+2}{(x-3)(x+1)}
El límite del numerador es 14, lo que puede verificarse fácilmente

\lim_{x \to 3+}\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3} = +\infty

(b) \lim_{x \to 3-}\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3} = \lim_{x \to 3-}\frac{x^2+x+2}{(x-3)(x+1)}
Como en el inciso (a), el límite del numerador es 14

En este caso, el límite del denominador es cero, pero el denominador se aproxima a cero por medio de valores negativos. Del teorema 2(ii),
\lim_{x \to 3}\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3} = -\infty

(c) con la gráfica de F se verifica los resultados obtenidos

Teorema 3 de Límites Infinitos

(i) Si \lim_{x \to a}f(x)=+\infty y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante, entonces \lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=+\infty

(ii) Si \lim_{x \to a}f(x)=-\infty y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante, entonces \lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=-\infty

El teorema también es válido si se sustituye “x \to a” por “x \to a^+” o “x \to a^-

Teorema 4 de Límites Infinitos

Si \lim_{x \to a}f(x)=+\infty y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante diferente de 0, entonces

(i) si c>0  \lim_{x \to a}f(x) \cdot g(x)=+\infty

(ii) si c<0 , \lim_{x \to a}f(x) \cdot g(x)=-\infty

El teorema también es válido si se sustituye “x \to a” por “x \to a^+” o “x \to a^-

Teorema 5 de Límites Infinitos

Si \lim_{x \to a}f(x)=-\infty y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante diferente de 0, entonces

(i) si c>0 , \lim_{x \to a}f(x) \cdot g(x)=-\infty

(ii) si c<0 , \lim_{x \to a}f(x) \cdot g(x)=+\infty

El teorema también es válido si se sustituye “x \to a” por “x \to a^+” o “x \to a^-

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Límites Infinitos

En esta sección, se estudian las funciones cuyos valores crece o decrecen sin límites conforme la variable independiente se acerca cada vez más a un número fijo. Para iniciar, considere la función definida por:

f(x)=\frac{3}{x^2}
Figura 1

El dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto 0, mientras que su contradominio es el conjunto de todos los números reales positivos. La figura 1 muestra la gráfica. Observa que conforme las coordenadas x de los puntos de la gráfica se aproximan a 0, por la derecha o por la izquierda, las coordenadas y, o f(x), crecen. A continuación se calcularán algunos valores de la función x tiende a 0. Aproxime x a 0 por la derecha, es decir, considere los siguientes valores de x: 1; 0,5;0,25,0,01;0,01,0,0001, y determine los valores correspondiente de f(x), los cuales se muestran a continuación con el uso de geogebra.

Observe en la tabla anterior que f(x) crece conformex se aproxima cada vez más a 0, a través de valores mayores que 0. En realidad, se puede hacer f(x) tan grande como se desee para todos los valores de x suficientemente cercanos a 0 y mayores que 0. Debido a este hecho, se dice que f(x) crece sin límite conforme x tiende a 0 mediante valores mayores que 0, lo cual se escribe como

\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{x^2}= +\infty

Ahora aproxime x a 0 por la izquierda; en particular, considere para los valores -1;-0,5;-0,25;-0,1 y -0,001. Debido a la simetría con respecto al eje y, los valores de la función son los mismos que los correspondientes a los valores positivos de x. Así, otra vez, f(x) crece sin límite conforme x tiende a 0 a través de valores menores que 0, lo cual se expresa como

\lim_{x \to 0^-} \frac{3}{x^2}= +\infty

Por tanto, conforme x se aproxima a 0 por la derecha o por la izquierda, f(x) crece sin límite, lo que se expresa en símbolos como

\lim_{x \to 0} \frac{3}{x^2}= +\infty

Volviendo a la figura 1, se observa que las dos “ramas” de la curva se acercan cada vez más al eje y conforme x se aproxima a 0. Para esta gráfica, el eje y es una asíntota vertical.

Definición de valores de función que crecen sin límite

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto posiblemente en a mismo, Conforme x se aproxima a a, f(x) crece sin límite, lo cual se escribe como

 \lim_{x \to a} \frac{3}{x^2}= +\infty

si para cualquier npumero N>0 existe \delta>0 tal que

si 0<\left | x-a \right |<\delta entonces f(x)>N

Esta definición también puede establecerse en otra forma como sigue:

“Los valores de función f(x) crecen sin límites conforme x tiende a un número a si f(x) puede hacerse tan grande como se desee (esto es, mayor que cualquier npumero positivo N) para todos los valores de x suficientemente cercanos a a, pero sin considerar a a, mismo”

Definición de valores de función que decrecen sin límite

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto posiblemente en a mismo, Conforme x se aproxima a a, f(x) decrece sin límite, lo cual se escribe como

 \lim_{x \to a} \frac{3}{x^2}= -\infty

si para cualquier npumero N<0 existe \delta>0 tal que

si 0<\left | x-a \right |<\delta entonces f(x)<N

Calculando Límites de funciones con SageMath

Conocimientos Previos:

Vamos a calcular los límites vistos en la sección anterior:

\large \lim_{x \to 3}(x^2++x-5)

Calculando Límites con SageMath:

Paso 1: Ingresar https://cloud.sagemath.com/

Paso 2: Iniciar sesión o registrar una cuenta conectandola con una cuenta de twitter o facebook

Paso 3: Crear un nuevo proyecto o trabajar sobre uno ya creado. Puedes colocarle el nombre que prefieras.

Paso 4: Crear una Nueva hoja de Trabajo con el nombre de “Limites”

Paso 5: Ingresar script

Para este caso vamos a calcular el límite con la función limit(nombrefuncion, a). Cuyos argumentos son el nombre de la función(y) y el valor a que tiende ese límite(a).

Para definir la función simplemente se realiza una asignación:

y=x^2+7*x-5
limit(y,x=3)

Paso 6: Cliquer al botón “Run” para calcular el valor del límite de la función:

De igual forma podemos calcular el límite de la función \lim_{x \to 2}\sqrt{\frac{x^3+2x+3}{x^2+5}}

 

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Ejercicios Resueltos | Teoremas de Límites

ejerciciosteoremaslimites

Requerimientos Previos:

En los ejercicios siguientes se aplicarán los teoremas vistos en la anterior entrada para calcular límites. A fin de indicar qué teorema se ha aplicado se escribirá la Abreviatura “TnL”.

Ejercicio 1: Calcule \large \lim_{x \to 3}(x^2+7x-5)
Solución:

Ejercicio 2: Calcule \lim_{x \to 2}\sqrt{\frac{x^3+2x+3}{x^2+5}}

Solución:

Ejercicios Propuestos:

Calcule:

  1. \lim_{y \to -1}(y^3-2y^2+3y-4)
  2. \lim_{x \to 3} \frac{4x-5}{5x-1}
  3. \lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{x^2+3x+4}{x^3+1}}

Ejercicios de la Definición de Limites

Conocimientos Previos:

Definición de Límites de una Función

Ejemplo 1: Utilice la definición de límite para demostrar que:

\lim_{x\rightarrow 2}(4x-5)=3

Solución: El primer requisito de la definición de límites es que 4x-5 esté definida en cada número de un intervalo abierto que contenga a 2, excepto posiblemente en 2. Puesto que 4x-5 está definida para todos los números reales, cualquier intervalo abierto que contenga a 2 satisface este requisito. Ahora se debe demostrar que para cualquier \epsilon > 0 tal que

si \ 0<\left | x-2 \right |< \delta \ \ entonces \ \ \left | 4x-5-3 \right |<\epsilon \ \ \ \ (1)

\Leftrightarrow si\ 0<\left | x-2 \right |< \delta \ \ entonces \ \ 4\left | x-2 \right |<\epsilon

\Leftrightarrow si\ 0<\left | x-2 \right |< \delta \ \ entonces \ \ \left | x-2 \right |<\frac{1}{4}\epsilon

Esta proposición denota que \frac{1}{4}\epsilon es una \delta satisfactoria. Con esta elección de \delta se tiene el argumento siguiente:

\ \ \ \ \ \ \ \ 0<\left | x-2 \right |< \delta

\Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ 4 \left |x-2 \right |< 4 \delta

\Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \left |4 x-8 \right |< 4 \delta

\Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \left |(4x-5)-3 \right |< \epsilon \ \ (porque \ \delta= \frac{1}{4}\epsilon)

Por tanto, se ha establecido que si \delta=\frac{1}{4}\epsilon , entonces se cumple la proposición (1). Esto demuestra que \lim_{x\rightarrow 2}(4x-5)=3

Ejercicios Propuesto:

\lim_{x\rightarrow 4}(2x+1)=9

\lim_{x\rightarrow 3}(7x-3)=-2

\lim_{x\rightarrow 3}(4x+3)=7

\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}-1}{x+1}=-2

 

Definición de Límites de Funciones

Introducción:

Pocas personas comprenden completamente el concepto de límite de manera rápida o fácil. De hecho, el significado preciso de la proposición “F(x) tiende a L cuando x tiende a afue debatido vigorosomante por cientos de años, hasta finales del siglo XIX. Fue entonces que el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1987) formuló finalmente la definición rigurosa del límite aceptada en la actualidad.

Definición de Límites de Funciones:

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo que se escribe como

\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L

si la siguiente proposición es verdadera:

dada cualquier \varepsilon >0 , no importa cuan pequeña sea, existe una \delta tal que

0<\left | x-a \right |< \delta \ \ entonces \ \ 0<\left | f(x)-L \right |<\epsilon

En palabras, esta definición establece que los valores de función f(x) se aproxima al límite L conforme x lo hace al número a si el valor absoluto de la diferencia entre f(x) puede hacerse tan pequeña como se desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.

Representación geométrica de Límite de funciónes:

Los puntos de la gráfica de y = F(x) que satisfacen Ia desigualdad |F (x) – L |< ε son aquellos puntos que se encuentran entre las dos rectas horizontales y = L – ε e y = L + ε. Los puntos en esta gráfica que satisfacen la desigualdad | x – a |<δ  son aquellos puntos que se encuentran entre las dos rectas verticales x = a – δ y x = a + δ.

L1 es la recta vertical x = a – δ y L2 x = a + δ los punto en azul son los puntos que satisface a | x – a| <δ

En consecuencia, la definición implica que \lim_{x \rightarrow a }F(a)=L si y solo si es verdadero lo siguiente:

Suponga que están dadas las dos rectas horizontales y = L -ε y= L +ε (con ε> 0). Entonces es posible elegir dos rectas verticales x = a – δ y x = a + δ  (con δ > 0) con la siguiente propiedad: Cada punto de Ia grafica de y=F(x) (con x ≠a) que se encuentre entre las dos rectas verticales también debe estar entre las dos rectas horizontales.

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