Continuidad de una función en un Número

En un entrada anterior se trató la función definida por:

donde C(x) dólares es el costo de x libras de un producto. Se observa que el     \lim_{x \to 10} C(x) no existe debido a que \lim_{x \to 10^+} C(x)\neq \lim_{x \to 10^-} C(x) . La gráfica de C, dibujada en la figura 1, se rompe en el punto donde x=10 porque C es discontinua en el número 10. Esta discontinuidad es causada por el hecho que  \lim_{x \to 10} C(x) no existe.

Figura 1

Ahora considere la función f definida por

f(x)= \frac{(2x+3)(x-1)}{x-1}

La gráfica de f consiste de todos los puntos de la recta y= 2x-1 excepto (1,5), y se muestra en la figura 2. La gráfica se rompe en el punto(1,5) debido a que la función es discontinua en el número 1. Esta discontinuidad ocurre porque f(1) no existe.

Figura 2

Suponga que la función F tiene los mismos valores que la función f definida anteriormente donde x≠1, y suponga que, por ejemplo, F(1)=2. Entonces F está definida para todos los valores de x, pero existe una rotura en la grafica.(Figura 3), y la función es discontinua en 1. Sin embargo, si se define F(1)=5, la gráfica no se rompe. Y se dice que la función F es continua en todos los valores de x.

Figura 3

Definición de función continua en un número

Se dice que la función f es continua en el número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

(i) f(a) existe;

(ii) \lim_{x \to a} f(x) existe

(iii) \lim_{x \to a} f(x)= f(a)

Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en a, entonces se dice que la función f es discontinua en a.

Ejemplo 1:

Sea f la función definida por

\large f(x)= \left\{\begin{matrix} 2x+3 & si &x\neq 1\\ 2 & si &x= 1 \end{matrix}\right.

Inspeccionemos las condiciones:

\large \begin{matrix} (i) & f(1)= 2\\ (ii) & \lim_{x \to 1}f(x)= 5 \\ (iii) & \lim_{x \to 1}f(x)\neq f(1) \end{matrix}

Las condiciones (i) y (ii) se satisfacen pero la condición (iii) no se cumple. Por lo tanto, la función f es discontinua en 1.

Observe que si en el ejemplo 1 se definierá f(1)=5, entonces \lim_{x \to 1} f(x) y f(1) serían iguales y f sería continua en 1. Por esta razón, la discontinuidad del ejemplo 1 se denomina discontinuidad removible
En general, suponga que f es una función discontinua en el número a para la cual existe \lim_{x \to a} f(x). Entonces f(a) no existe, o bien,\lim_{x \to a} f(a)\neq f(a).

Dicha discontinuidad es una discontinuidad removible(o eliminable) porque si f se redefine en a de modo que f(a) es igual a \lim_{x \to a} f(x), la nueva función es continua en a. Si la discontinuidad no es removible, entonces se le llama discontinuidad esencial

Ejemplo 2:

Sea f la funcióndefinida por

\large f(x)= \frac{1}{x-2}
Figura 5

La gráfica de f, mostrada en la figura 5, se rompe en el punto donde x=2; por lo que se investigarán las condiciones de la definición de continuidad:

f(2) no está definida

Como no se satisface la condición (i), f es discontinua en 2.
La discontinuidad es esencial porque \lim_{x \to 2} f(x) no existe

Este tipo de discontinuidad recibe el nombre de discontinuidad infinita

 

 

 

 

 

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *