Definición de Límites de Funciones

Introducción:

Pocas personas comprenden completamente el concepto de límite de manera rápida o fácil. De hecho, el significado preciso de la proposición “F(x) tiende a L cuando x tiende a afue debatido vigorosomante por cientos de años, hasta finales del siglo XIX. Fue entonces que el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1987) formuló finalmente la definición rigurosa del límite aceptada en la actualidad.

Definición de Límites de Funciones:

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo que se escribe como

\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L

si la siguiente proposición es verdadera:

dada cualquier \varepsilon >0 , no importa cuan pequeña sea, existe una \delta tal que

0<\left | x-a \right |< \delta \ \ entonces \ \ 0<\left | f(x)-L \right |<\epsilon

En palabras, esta definición establece que los valores de función f(x) se aproxima al límite L conforme x lo hace al número a si el valor absoluto de la diferencia entre f(x) puede hacerse tan pequeña como se desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.

Representación geométrica de Límite de funciónes:

Los puntos de la gráfica de y = F(x) que satisfacen Ia desigualdad |F (x) – L |< ε son aquellos puntos que se encuentran entre las dos rectas horizontales y = L – ε e y = L + ε. Los puntos en esta gráfica que satisfacen la desigualdad | x – a |<δ  son aquellos puntos que se encuentran entre las dos rectas verticales x = a – δ y x = a + δ.

L1 es la recta vertical x = a – δ y L2 x = a + δ los punto en azul son los puntos que satisface a | x – a| <δ

En consecuencia, la definición implica que \lim_{x \rightarrow a }F(a)=L si y solo si es verdadero lo siguiente:

Suponga que están dadas las dos rectas horizontales y = L -ε y= L +ε (con ε> 0). Entonces es posible elegir dos rectas verticales x = a – δ y x = a + δ  (con δ > 0) con la siguiente propiedad: Cada punto de Ia grafica de y=F(x) (con x ≠a) que se encuentre entre las dos rectas verticales también debe estar entre las dos rectas horizontales.

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