Límites Infinitos

En esta sección, se estudian las funciones cuyos valores crece o decrecen sin límites conforme la variable independiente se acerca cada vez más a un número fijo. Para iniciar, considere la función definida por:

f(x)=\frac{3}{x^2}
Figura 1

El dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto 0, mientras que su contradominio es el conjunto de todos los números reales positivos. La figura 1 muestra la gráfica. Observa que conforme las coordenadas x de los puntos de la gráfica se aproximan a 0, por la derecha o por la izquierda, las coordenadas y, o f(x), crecen. A continuación se calcularán algunos valores de la función x tiende a 0. Aproxime x a 0 por la derecha, es decir, considere los siguientes valores de x: 1; 0,5;0,25,0,01;0,01,0,0001, y determine los valores correspondiente de f(x), los cuales se muestran a continuación con el uso de geogebra.

Observe en la tabla anterior que f(x) crece conformex se aproxima cada vez más a 0, a través de valores mayores que 0. En realidad, se puede hacer f(x) tan grande como se desee para todos los valores de x suficientemente cercanos a 0 y mayores que 0. Debido a este hecho, se dice que f(x) crece sin límite conforme x tiende a 0 mediante valores mayores que 0, lo cual se escribe como

\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{x^2}= +\infty

Ahora aproxime x a 0 por la izquierda; en particular, considere para los valores -1;-0,5;-0,25;-0,1 y -0,001. Debido a la simetría con respecto al eje y, los valores de la función son los mismos que los correspondientes a los valores positivos de x. Así, otra vez, f(x) crece sin límite conforme x tiende a 0 a través de valores menores que 0, lo cual se expresa como

\lim_{x \to 0^-} \frac{3}{x^2}= +\infty

Por tanto, conforme x se aproxima a 0 por la derecha o por la izquierda, f(x) crece sin límite, lo que se expresa en símbolos como

\lim_{x \to 0} \frac{3}{x^2}= +\infty

Volviendo a la figura 1, se observa que las dos “ramas” de la curva se acercan cada vez más al eje y conforme x se aproxima a 0. Para esta gráfica, el eje y es una asíntota vertical.

Definición de valores de función que crecen sin límite

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto posiblemente en a mismo, Conforme x se aproxima a a, f(x) crece sin límite, lo cual se escribe como

 \lim_{x \to a} \frac{3}{x^2}= +\infty

si para cualquier npumero N>0 existe \delta>0 tal que

si 0<\left | x-a \right |<\delta entonces f(x)>N

Esta definición también puede establecerse en otra forma como sigue:

“Los valores de función f(x) crecen sin límites conforme x tiende a un número a si f(x) puede hacerse tan grande como se desee (esto es, mayor que cualquier npumero positivo N) para todos los valores de x suficientemente cercanos a a, pero sin considerar a a, mismo”

Definición de valores de función que decrecen sin límite

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto posiblemente en a mismo, Conforme x se aproxima a a, f(x) decrece sin límite, lo cual se escribe como

 \lim_{x \to a} \frac{3}{x^2}= -\infty

si para cualquier npumero N<0 existe \delta>0 tal que

si 0<\left | x-a \right |<\delta entonces f(x)<N

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