Teoremas de Límites infinitos

Conocimiento Previo:

Límite de Función

Teorema de inversa de una función pontencia de exponente entero positivo

Si r es cualquier número entero positivo, entonces

Demostración:

Se probará el inciso (i). La demostración del inciso (ii) es análoga . Se debe probar que para cualquier N>0   existe \delta>0, tal que

\large si \ 0<x<\delta \ entonces \ \frac{1}{x^r}>N \\ \text{o, equivalentemente como} x>0 \ y \ N>0,\\ si \ 0<x<\delta \ entonces \ x^r<\frac{1}{N} \\ \text{o, de modo equivalentemente como} r>0, \\ si \ 0<x<\delta \ entonces \ x< \left ( \frac{1}{N} \right )^{\frac{1}{r}} \\ \text{el enunciado anterior se cumple si } \delta= \left ( \frac{1}{N} \right )^{\frac{1}{r}}. \\ \text{Por tanto, cuando} \ \delta= \left ( \frac{1}{N} \right )^{\frac{1}{r}}\\ si \ 0<x<\delta \ entonces \ \frac{1}{x^r}>N

Ejemplo 1: A partir del teorema anterior calcule los límites de f(x)=\frac{1}{x^3} y g(x)=\frac{1}{x^4}

A partir del teorema anterior inciso (i):

\large \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3}= \infty \ y \ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4}= \infty

y del inciso (ii):

\large \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^3}= -\infty \ y \ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^4}= \infty

Teorema 2 de Límites Infinitos

Si a es culquier número real y si \lim_{x \to a}f(x)=0 y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante diferente de 0, entonces

(i) si c>0 y f(x) \to 0 a través de valores positivos de f(x), entonces
\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)}= +\infty
(ii) si c>0 y f(x) \to 0 a través de valores negativo de f(x), entonces
\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)}= -\infty
(iii) si c<0 y f(x) \to 0 a través de valores positivos de f(x), entonces
\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)}= -\infty
(iv) si c<0 y f(x) \to 0 a través de valores negativos de f(x), entonces
\lim_{x \to }\frac{g(x)}{f(x)}= +\infty
El teorema también es válido si se sustituye “x \to a” por “x \to a^+” o “x \to a^-

Ejemplo 2: Sea

F(x) =\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3}

Determine:
(a) \lim_{x \to 3+}F(x)2
(b) \lim_{x \to 3-}F(x)
(c) Apoye las respuestas de los incisos (a) y (b) trazando la gráfica de F

(a) \lim_{x \to 3+}\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3} = \lim_{x \to 3+}\frac{x^2+x+2}{(x-3)(x+1)}
El límite del numerador es 14, lo que puede verificarse fácilmente

\lim_{x \to 3+}\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3} = +\infty

(b) \lim_{x \to 3-}\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3} = \lim_{x \to 3-}\frac{x^2+x+2}{(x-3)(x+1)}
Como en el inciso (a), el límite del numerador es 14

En este caso, el límite del denominador es cero, pero el denominador se aproxima a cero por medio de valores negativos. Del teorema 2(ii),
\lim_{x \to 3}\frac{x^2+x+2}{x^2-2x-3} = -\infty

(c) con la gráfica de F se verifica los resultados obtenidos

Teorema 3 de Límites Infinitos

(i) Si \lim_{x \to a}f(x)=+\infty y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante, entonces \lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=+\infty

(ii) Si \lim_{x \to a}f(x)=-\infty y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante, entonces \lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=-\infty

El teorema también es válido si se sustituye “x \to a” por “x \to a^+” o “x \to a^-

Teorema 4 de Límites Infinitos

Si \lim_{x \to a}f(x)=+\infty y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante diferente de 0, entonces

(i) si c>0  \lim_{x \to a}f(x) \cdot g(x)=+\infty

(ii) si c<0 , \lim_{x \to a}f(x) \cdot g(x)=-\infty

El teorema también es válido si se sustituye “x \to a” por “x \to a^+” o “x \to a^-

Teorema 5 de Límites Infinitos

Si \lim_{x \to a}f(x)=-\infty y \lim_{x \to a}g(x)=c , donde c es una constante diferente de 0, entonces

(i) si c>0 , \lim_{x \to a}f(x) \cdot g(x)=-\infty

(ii) si c<0 , \lim_{x \to a}f(x) \cdot g(x)=+\infty

El teorema también es válido si se sustituye “x \to a” por “x \to a^+” o “x \to a^-

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